Осцилляторы Ван дер Поля и Рэлея в дискретном времени

Автоколебания описываются нелинейными дифференциальными уравнениями с устойчивыми предельными циклами. Все фазовые траектории, выходящие из различных точек фазовой плоскости, стремятся к предельному циклу. В работе выполнено численное моделирование фазовых портретов и форм колебаний системы.

осциллятор ван дер поля

Постановка задач, обсуждение и интерпретация результатов проводились совместно с научным руководителем и соавторами совместных работ. Радиофизический эксперимент (п. 1.3) был выполнен совместно с Е.П. Мэри Картрайт, Британский математик, одним из первых изучивший теорию детерминированного хаоса, в частности применительно к этому осциллятору.

Текст научной работы на тему «Феномен уравнения ван дер Поля»

Указанные эффекты обнаружены в рамках аналитического рассмотрения, численного моделирования и радиофизического эксперимента. Для системы трех диссипативно связанных в цепочку неидентичных осцилляторов ван дер Поля картина синхронизации зависит от соотношения управляющих параметров осцилляторов, находящихся по краям и в центре цепочки. В такой системе возможен режим полной широкополосной синхронизации, когда за счет диссипативной связи оказываются продемпфированными два осциллятора.

В этом уравнении представлен дополнительный член с кубической нелинейностью, включенный по аналогии с осциллятором Дуффинга. Эта нелинейность, характеризуемая параметромbотвечает за новый эффект в автономной системе – неизохронность колебаний, т.е. Зависимость их периода от амплитуды. Принципиальное значение системы Ван-дер-Поля – Дуффинга состоит в как работать на олимп трейд том, что в рамках укороченных уравнений (полученных методом медленно меняющихся амплитуд) она приводит к полной нормальной форме бифуркации Андронова-Хопфа. В ней скорость изменения фазы зависит от квадрата амплитуды колебаний с коэффициентом пропорциональнымb. Поэтому b можно назвать параметром неизохронности или параметром фазовой нелинейности.

Третий эксперимент имел своей целью установление связи между вкладами консервативных и неконсервативных слагаемых и амплитуды колебаний. Амплитуда определялась пространственными маркерами, размещенными впереди и сзади плоскости, в которой совершались колебания. Эксперимент показал, что при уменьшении амплитуды коэффициент линейной price action стратегия жесткости возрастает, а жесткость Дуффинга становится все более и более отрицательной. Коэффициенты при нелинейных слагаемых затухания увеличивались с уменьшением амплитуды, в то время как коэффициент линейного трения уменьшался. Быстрее увеличивались коэффициенты при нелинейных слагаемых затухания у более крупных маятников.

осциллятор ван дер поля

4.3 проведено аналитическое исследование в рамках квазигармонического приближения. 4.4 найдено приближенное аналитическое решение для режима полной широкополосной синхронизации. В рамках фазовых уравнений в п. 4.5 установлен вид области полной синхронизации в ситуации, когда наиболее продемпфированный осциллятор находится с краю цепочки. Обосновано исчезновение этой области в ситуации, когда такой осциллятор находится в центре цепочки. Проведено обсуждение основных бифуркаций.

Переход к наноразмерным системам делает актуальной задачу построения квантовой версии осциллятора ван дер Поля. Соответствующие вопросы обсуждаются в работе , в частности, исследуется влияние квантовых флуктуаций на динамику двух связанных осцилляторов. Показано, что фазовая синхронизация в квантовой модели оказывается более грубой , чем в классической.

Генератор Ван дер Поля

В конце двадцатого века часто предпринимались попытки связать процессы, происходящие в нервных клетках, с наблюдаемыми электроэнцефалограммами (ЭЭГ). Было экспериментально подтверждено существование тесной связи между постсинаптическим потенциалом (управляет возбудимостью клетки) и ЭЭГ, что впоследствии стало толчком к созданию математической модели, описывающей взаимодействие локальных популяций нейронов. «Электрическое сердце», созданное ван дер Полем и ван дер Марком, представляло собой весьма приближенную модель сердца, однако позволяло моделировать некоторые «режимы» работы реального органа.

Такое решение существует для предельного цикла, если ж(Икс) в Уравнение Лиенара – постоянная кусочно-размерная функция. Синхронизация при обработке и передаче информации в нейронных сетях. Учебно-методические материалы по программе повышения квалификации «Хранение и обработка информации в биологических системах», Нижний Новгород, 2007. Пащенко Р.Э., Пащенко Э.И., Максюта Д.В. Формирование фрактальных сигналов на основе уравнения ван дер Поля // Системы управления, навигации и связи. 2Этот результат представлен в монографии П.С.

осциллятор ван дер поля

Поэтому в случае связи разнотипных систем можно ожидать проявление эффектов и особенностей устройства пространства параметров, характерных для неидентичных подсистем. Таким образом, исследование связанных неидентичных и разнотипных автоколебательных осцилляторов является важной задачей радиофизики. В Главе 1 рассмотрена динамика системы двух связанных осцилляторов ван дер Поля с неидентичными параметрами. 1.1 проведено численное исследование динамики в случае неидентичных параметров, отвечающих за бифуркацию Андронова-Хопфа в каждом осцилляторе. Показано, что этот вид неидентичности приводит к возникновению режима «широкополосной синхронизации». В работе было проведено качественное исследование решений уравнения Ван дер Поля, описывающих переход от состояния неустойчивого равновесия к устойчивому предельному циклу.

Следует сказать, что в это время на Западе, а также в Америке, сколь-нибудь существенных новых исследований в области теории нелинейных колебаний не было. Несколько позже в переводе книга «Теория колебаний» была издана в США». К этому можно лишь добавить, что в 1981 году вышло третье издание книги (второе вышло в 1959 году с существенными дополнениями, сделанными Е.А. Леонтович и Н.А. Железцовым), тождественное первому изданию 1937 года. Книга сразу стала библиографической редкостью.

Научный журнал Фундаментальные исследования ISSN 1812

Чернышевского. Область научных интересов – теория колебаний и волн. Возможен также учет и других факторов. Так можно учесть влияние малой дополнительной нелинейности по типу осциллятора Дуффинга, а также малую неидентичность осцилляторов по управляющему параметру X. В рамках фазовой модели это приводит к обобщенному фазовому уравнению, которое получено и исследовано в . В рамках приближения Ландау-Стюарта задача о неизохронных осцилляторах с обоими типами связи подробно обсуждается в .

Осциллятор Ван дер Поля

Было проведено три эксперимента. В первом эксперименте испытуемый садился на стул и клал руки на подлокотник. Затем ему давали маятник и заставляли раскачивать его от запястья в нормальной плоскости. Испытуемый при раскачивании должен был смотреть на стену перед собой, а для раскачивания маятника использовать только запястье. В ходе эксперимента регистрировалась пространственно-временная характеристика системы, затем определялся момент вращательной инерции.

Его открытие также оказало влияние как на динамику, так и на физические процессы. Введя графическое представление, он также внес вклад в изменение метода изучения нелинейных феноменов. В этом смысле, связь его имени с этим уравнением – подходящий способ, чтобы его отблагодарить». Фазовый портрет осциллятора. Виден предельный цикл. Наряду с колебательными системами, в которых энергия с течением времени может только уменьшаться из-за диссипации, существуют и такие, в которых возможно пополнение энергии колебаний за счет неустойчивостей.

Мэри Картрайт, британский математик, один одним из первых исследователей теории детерминированного хаоса, особенно применительно к этому осциллятору. Отметим, что система Ван-дер-Поля – Дуффинга продолжает привлекать внимание исследователей (например, полная картина бифуркаций в укороченной системе установлена только в самом конце XX века). Явление синхронизации в системе Ван-дер-Поля с внешним воздействием привлекает внимание исследователей, начиная с пионерских работ первой половины XX века (Эпплтон, Ван-дер-Поль, Андронов, Витт, Мандельштам, Папалекси и др.) до нашего времени.

В обзоре выделен лишь один момент его творчества, связанный с уравнением, носящим его имя, и удивительно широким диапазоном применения этого уравнения в естествознании. В обзоре изложены следующие вопросы. От нуля, тем колебания осциллятора менее похожи на гармонические. Данное уравнение также было использовано в сейсмологии для моделирования геологических разломов. 3 при фазовая траектория представляет собой спираль, скручивающуюся к точке – устойчивому фокусу. Горобцов, А.С.

Поэтому с помощью простейшей модели авторы попытались воспроизвести различные явления, полученные ими экспериментально. Также было показано, что две базовые измеренные частоты могут быть воспроизведены посредством использования одинаковых связанных осцилляторов, а введение двух видов ячеек стенки толстой кишки не является необходимым. В работе осциллятор ван дер Поля используется для обсуждения задач физики атмосферы. Предлагается грубая модель тропического циклона в форме пространственной автоколебательной системы, описывающей спиральное образование вокруг вертикальной оси. Модельная система имеет вид двух связанных модифицированных осцилляторов ван дер Поля. Уравнение ван дер Поля появляется в гидродинамической задаче образования вихрей при обтекании цилиндра , а также при описании следа в обтекающем потоке .

Модель генератора автоколебаний

Уравнение Ван дер Поля уже давно используется как в физический и биологический науки. Например, в биологии Фитцхью и Нагумо расширил уравнение в плоское поле как модель за потенциалы действия из нейроны. Уравнение также использовалось в сейсмология смоделировать две пластины в геологический разлом, и в исследованиях звучание моделировать правую и левую голосовая связка генераторы. Где и – сопряженные импульсы, соответствующие x и y соответственно. Такой гамильтонова также соединяет в геометрическую фазу системы предельного цикла , имеющую зависимые временные параметры с углом Ханного соответствующей системы Гамильтон.

Получены фазовые уравнения для системы трех осцилляторов с неидентичными управляющим параметрами. В рамках фазового приближения установлены границы области полной синхронизации в зависимости от положения наиболее подавленного связью осциллятора, в частности, выявлена возможность ее исчезновения. Квантовый осциллятор Ван-дер-Поля, который является квантовой версией классического осциллятора Ван-дер-Поля, был предложен с использованием уравнения Линдблада для изучения его квантовой динамики и квантовой синхронизации . Обратите внимание, что вышеупомянутый гамильтонов подход с вспомогательным уравнением второго порядка дает неограниченные траектории в фазовом пространстве и, следовательно, не может использоваться для квантования осциллятора Ван-дер-Поля. В пределе слабой нелинейности (т. Е. Μ → 0) осциллятор Ван-дер-Поля сводится к уравнению Стюарта-Ландау. Фактически уравнение Стюарта-Ландау описывает целый класс осцилляторов с предельным циклом в слабонелинейном пределе.

Понятие эредитарности или памяти было введено итальянским математиком Вито Вольтеррой для обобщения гармонического осциллятора заменой дифференциального уравнения на интегро-дифференциальное . Далее в этой работе Вольтерра вывел обобщенный закон сохранения полной механической энергии для этой эредитарной колебательной системы. В отличие от закона сохранения энергии для гармонического осциллятора, обобщенный закон сохранения содержал дополнительное положительное слагаемое, которое отражает диссипацию энергии колебательной системы. Полная широкополосная синхронизация исчезает в случае, когда два крайних осциллятора сильно возбуждены, причем их управляющие параметры не сильно различаются.

Пример генератора релаксации . Затем было проведено сравнение фазовых портретов исходной системы и модельной (рис. 18). Схема взаимодействия двух связанных возбуждающих и тормозящих нейронных популяций. Круги представляют возбуждающую и тормозящую популяции. Коэффициенты взаимосвязи показаны над стрелками. В работе осциллятор ван дер Поля находит приложение в робототехнике при моделировании поворачивающегося робота.

При увеличении степени связи между осцилляторами модель демонстрирует переход из несинхронизированного режима в синхронизированный. При увеличении степени асимметрии связанные осцилляторы ван дер Поля начинают совершать колебания в одной фазе с равными амплитудами. Таким образом, динамика системы «сердце-сосуды» может быть представлена с помощью комбинированной модели, основой которой являются уравнение ван дер Поля-Рэлея, а также уравнение, описывающее работу сети Вольтерры.

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЭРЕДИТАРНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА ВАН

Форма классического уравнения Стюарта-Ландау намного проще, и, возможно, неудивительно, что его можно квантовать уравнением Линдблада, которое также проще, чем уравнение Линдблада для осциллятора Ван-дер-Поля. Квантовая модель Стюарта-Ландау сыграла важную роль в исследовании квантовой синхронизации (где ее часто называют осциллятором Ван-дер-Поля, хотя ее нельзя однозначно связать с осциллятором Ван-дер-Поля). Связь между классической моделью Стюарта-Ландау ( μ → 0) и более общими осцилляторами предельного цикла (произвольные μ) также было продемонстрировано численно в соответствующих квантовых моделях. Предложены новые дискретные отображения классических автоколебательных систем — осцилляторов Ван дер Поля и Рэлея. Отображения с сохраненными временными характеристиками отклика линейной системы на внешнее воздействие получены на основе сочетания методов параметрического синтеза и инвариантности импульсных характеристик динамических систем. Приведены примеры генерации регулярных и хаотических автоколебаний в дискретном времени.

Кроме того, возможен режим, который можно назвать широкополосной двухчастотной синхронизацией и который отвечает ситуации, когда сильно продемпфированным является только один из осцилляторов. Ниже (по величине параметра связи) этой области глобал альянс брокер располагаются режимы трехчастотных квазипериодических колебаний. В этой области ни один осциллятор не продемпфирован, и соотношение размеров их предельных циклов определяется соотношением управляющих параметров осцилляторов.

С целью обнаружения эффектов широкополосной синхронизации в системе однотипных автоколебательных осцилляторов более сложной по сравнению с осциллятором ван дер Поля природы, в Главе 3 рассмотрена динамика нефронов. Исследование условий доминирования различных осцилляторов и особенностей устройства пространства параметров трех связанных в цепочку неидентичных по параметрам возбуждения осцилляторов ван дер Поля. Диссипативно связанных в цепочку фазовых осцилляторов применяется метод ляпуновских карт. Следует отметить также, что для задач о динамике связанных автоколебательных осцилляторов в рамках фазового приближения возникают определенные аналогии с системами фазовой автоподстройки, см. И цитированную там литературу.

Total Page Visits: 3 - Today Page Visits: 1